CARNAVAL DE MATEMÁTICAS

 APROXIMAR PI
CON EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES

Esta entrada participa en  la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es  Cuentos Cuánticos


Arquímedes en su busca de la Cuadratura del Círculo encontró el número Pi . Esto nos podría haber pasado a cualquier matemático, lo suficiente cabezota como para meter un cuadrado dentro de un círculo; e incluso a algún que otro artísta como le pasó a Durero (fig.1).



Fig.1. Cuadratura del círculo de Durero.
También se les pasó por la cabeza a la facultad de Bellas Artes de Sant Carles, en València, con éste logo.

Pero volvamos a Arquímedes, quién aproximó el número Pi mediante la mitad del perímetro del 2^n pentágono regular, por el Método de Arquímedes es una manera ingeniosa y divertida de encontrar el número Pi en la novena iteracción ya da una buena aproximación.

 En su tratado Sobre la medida del círculo en su tercera proposición nos dice que el perímetro de todo círculo es igual al triple del diámetro aumentado en un segmento comprendido entre 10/71 y 1/7 de dicho diámetro. En realidad lo que encontró el matemático griego era una ecuación que nos mostraba la relación que hay entre la circunferencia y el número Pi, para ello se necesitan unos conocimientos preliminares, como el área de un polígono regular con centro O, el perímetro Q, y la apotema h. El área de un polígono regular es 1/2·h·Q.

Para la demostración deberíamos considerar un polígono con n-lados, cada uno de longitud b. Se trazan dos rectas desde el origen hasta los vértices del Polígono, se descompone por tanto en n-triángulos, con razón de semejanza y la altura sea el apotema. Como el área del triángulo es S=1/2·b·h , entonces el área del polígono será la suma de n-términos regulares; y como en un círculo es posible inscribir un cuadrado (Proposición IV de Euclides),  y la superfície del cuadrado es menor que la del círculo, al inscribir un octónono regular en el círculo tendremos que ésta superfície es menor que la del círculo, pero aproximándose más que la del cuadrado, y por recurrencia, la diferencia entre las áreas del círculo y del polígono será cada vez más pequeña, siempre que aumente los números de los lados que tenga el polígono inscrito.

La conclusión de Arquímedes fué: ya que el área del círculo no es mayor ni menor que el área del triángulo , es igual a él. Queda ligado el concepto unidimensional de la circunferencia con el concepto bidimensional del área. 

Aquí tenemos la solución geomñetrica:


Búsqueda de Pi con un polígono de 4 lados:





Búsqueda de Pi con un polígono de 8 lados:



Búsqueda de Pi con un polígono de 16 lados:



Búsqueda de Pi con un polígono de 25 lados:






Os dejo el código que he hecho en Matlab para obtener estas imágenes:
******************************************************************************************************

function y=peris(nn)
ang=0:0.001:2*pi;
r=0.5;
x=r*cos(ang);
y=r*sin(ang);
figure(1);
plot(x,y);
hold
axis equal
figure(1);plot([0,0.5,0,-0.5,0],[-0.5,0,0.5,0,-0.5],'r')
figure(1);plot([-0.5,0.5],[0,0],'--g')
plot([0,0],[-0.5,0.5],'--g')
title('Recerca de \pi')
xlabel('Cercle de diàmetre unitat')
ylabel('Primer perímetre vàlid')
if (nn >1)

    n1=2^nn;
    inc=2*pi/n1;
    zang=0:inc:2*pi;
    zx=r*cos(zang);
    zy=r*sin(zang);
end
figure(1);plot(zx,zy,'r');
hold
**************************************************************************************************

Ésta es mi aproximación preferida al número Pi, de manera geométrica, y realmente bella, como bién diría Hardy.

 ¿Cuál es tu aproximación preferida al número Pi?.


LLAMANDO A MILÚ

Esta entrada participa en  la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas


 Haciendo los deberes de Métodos Numéricos para el Álgebra Lineal me encontré con una forma de llamar a Milú desde el programa Matlab.

   function [B,L,U]=milu(A)

  [n,m]=size(A);
for k=1:n-1 
    for i=k+1:n 
         A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); 
        for j=k+1:n 
            A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j);
      
    end
end
 
U=triu(A);
L=(tril(A,-1))+eye(n);
[y]=suspro(L,b)
[x]=susreg(U,y) 

end

Éste programa es una modificación de un algoritmo de eliminación gaussiana, y con la estructura A=LU, donde A es la matriz que se descompone en L, matriz triangular inferior, y U es la matriz triangular superior, estas siglas vienen del inglés Lower-Upper. El programa juega con dos comandos del Matlab, tril que es una matriz triangular inferior y triu es una matriz triangular superior unitarias, y el comando eye(n), hace una matriz diagonal unitaria. Y el programa llama a otros ya que es una función recursiva, el programa suspro de sustitución progresiva y otro, susreg de sustitución regresiva.

¿Y ustedes pensaban que era una broma?, pues Milu existe y es una función recursiva.

Referencias:




EL TEOREMA DE
GÉRARD DESARGUES
ENTRE TRES AGUAS 

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es  Scientiablog


El Teorema de Gérard Desargues, nos dice que en el plano proyectivo, dos triángulos son perspectivos desde un punto si y sólo si son perspectivos desde una recta (ref.1).

Éste teorema puede demostrarse por tres vías, mediante la geometría Euclídea,  por la lógica algebraica o matemática. y por la modelización matemática, de manera más intuitiva. Esto nos viene bien para demostrarle a todos los alumnos que estudiamos matemáticas, que aunque nos enseñen en la facultad una única demostración sobre un teorema, que existen otros caminos, y que otras disciplinas nos ayudaran a completar nuestro conocimiento.

Empezaremos por definir el teorema:

Un triángulo es la unión de deta ABC es la unión de:

                                                                                                                             (1)

Un conjunto de líneas es coincidente si todas las líneas intersectan en el mismo punto.Los triángulos:


                                                     (2)
 

están en perspectiva si:
                                                                                                     (3)


que unen los vértices correspondientes a los dos triángulos. Son coincidentes. Con todo esto podemos introducir un nuevo teorema.
  
Si los triángulos  (2) están en perspectiva, entonces los puntos:



                                                                                                           (4)
dónde se cruzan los lados correspondientes, son colinieares.


DEMOSTRACIÓN:

                                                                                                             (5)
Entonces tendremos dos casos a estudiar:

1) Suponemos que los triángulos (2) no están en el mismo plano, en éste caso hay que comprobar que las intersecciones no están vacías. El hecho de que los triángulos estén en perspectiva implica que cada uno de los siguientes pares de líneas, están contenidas en un plano.

                                                                                                      (6)



Cada par de líneas han intersectado en algún lugar, así que los puntos P,Q y R existen. Claramente:

                                                                                                         (7)

Por lo tanto,

   (9)

Qué es una línea, esto prueba el tma. de Desargues en el primer caso.

2) Suponemos que los dos triángulos (2) están en el mismo plano. Nuestro enfoque será tratar estos triángulos como proyecciones de triángulos, que cumplen las condicciones del primer caso. Si A=A', B=B' y C=C', no hay nada que probar. Por tanto, sin pérdida de generalidad podemos suponer que dos triángulos almenos difieren en un eje.

                                                                                              (10)


Vemos un plano que contiene:


                                                                                            (11)


Con A y Z diferentes. Podemos definir:


(12)

Por construcción tendríamos:

                                                                                                                                     (13)
Están en perspectiva, por otro lado no están en el mismo plano. Por lo que en H hay un único plano que contiene a  BC y B'C', pero H no contiene a a'.

Para el caso 1) tenemos:

                                                                                                        (14)

y R son coliniares.

Desde la proyección de Z a H , de a a A', y de a' a A',  fijamos cada punto en H. Así que:

                                                                                                                           (15),(16)

Dejando al mismo tiempo R fija. Entonces p,q y R son coliniales, por tanto sus imágenes P,Q y R también lo serán. Ésta es la prueba que completa la demostración del teorema de Desargues.


Fig. 1. Teorema de Desargues.


Fig.2. Caso 2, prueba del tma. de Desargues.


La segunda demostración del teorema de Desargues viene de la lógica matemática. El profesor  José Alfredo Amor (ref.3), formalizó una propuesta.

Para todo A, B, C, A',B',C', O,P,Q,R





                                                                                                (17)

Donde Col significa colinial. Esta expresión se toma como proposición lógica de primer orden, donde se muestra un árbol semántico sencillo, por lo que se simplifican términos.
Col(A,B,C)= t
Col(A',B',C')= s
Col(P, Q, R) = r







Fig.3. Demostración Lógica del Tma. de Desargues. Diagrama ref.2


Éste árbol semántico no prueba la veracidad del teorema de Desargues, porque no prueba que sea una Tautología. La configuración de Desargues cumple unas propiedades:

 1ª Propiedad: Configuración Binaria.
 2ª Propiedad: Configuración Ternaria.
 3ª Propiedad: Configuración Ternaria II.

1ª Propiedad: Tenemos 6 puntos, A,A',A'', B,B',B'',  cualesquiera, si las rectas son de la forma:


                                                                                                                    (18)

Esta propiedad la cumple el plano afín y el plano euclídeo.


2ª  Propiedad: Tenemos por definición 7 puntos del plano afín, A,B,C; A',B',C';O, no coliniales, alineadas con cada una de las parejas: (A,A'), (B,B'), (C,C'). Entonces tendremos:


                                                                                                                          (19)

 3ª  Propiedad:  Tiene los mismos puntos no colineales de la 2ª propiedad. pero definidos como ternas: (A,B,C) y (A',B',C') y el punto O, alineados con cada una de las parejas, (A,A'), (B,B'), (C,C')      

                                                                                                 (20)                                                                                                           


O la recta AC es coincidente con A'C' o paralelas entre sí.


Fig.4. Primera propiedad.


Fig.5. Segunda propiedad.




Fig.6. Tercera propiedad.


Las siguientes dos figuras número 7 y 8 son una manera más intuitiva de ver el teorema de Desargues y que corresponde con el programa Mathematical,en concreto Wolfram Demostrations Project.  Ésta es la tercera vía de demostración.


Fig.7. Configuración de Desargues, representación con líneas.

Fig.8. Configuración de Desargues con sólidos.





Referencias:

Bibliografía

Castellet, Manuel; Llerena, Irene.Álgebra Lineal y Geometría. Editorial Reverté. Universitat Autònoma de Barcelona,2000.
 
Descartes,René.
The Geometry of Rene Descartes with a facsilime ofthe rst edition.Dover  Edition,1954.Translated from the French and Latin by David Eugene Smith and Marcia L.Latham.

Jennings, George A.Modern Geometry with Applications.Springer-Verlag, New York, 1994.

 
Articulos:

Rivera Castañeda Geuvdjelian Herrera N. La con guración de Desargues y su prueba lógica.VIII Encuentro Internacional de Didáctica de la Lógica (Papers).UNAM, diciembre del 2005. México.
3. Tavera Vázquez, Antonio; Castañeda Rivera, Jesús. Geometría Lógicamente: Propiedades de la configuración de Desargues y Árboles Semánticos. Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas UMSNH*, Instituto de Matemáticas UNAM, Morelia Michoacán, México, 2004-2005.





INTERNET

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_proyectivo (ref.1)


DEMOS

Wolfram Demostrations Project. Projective Geometry.Demostrations:http://demostrations.wolfram.com/topic.html?topic=Projective+Geometrylimit=20.
 
Wolfram MathWorld:
http://mathworld.wolfram.com/Brianchons Theorem.html 44




CALEIDOCICLOS
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA


Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Cifras y teclas

Como ejercicio mis alumnos y alumnas de primero de Diseño Gráfico de la EASD de Alcoi (Alicante), realizaron un trabajo en la asignatura de Espacio y Volumen diseñando su propia plantilla con sus imágenes caleidoscópicas aplicadas a un caleidociclo. Pero todo esto era un proceso, pasando previamente por dos ejercicios.Veamos cómo fué...
  Primero empezamos con un poco de teoría, vimos como un espejo refleja una imagen multiplicándola según el ángulo, eso es lo que hacen los tres espejos interiores que forman un prisma triangular y que se encuentran en el interior de un caleidoscopio que construyeron los alumnos con material reciclable. 

Fig.1. Demostración de cómo se repite una imagen reflejada en dos espejos.
Y empezaron a construir los caleidoscopios. Aquí tenemos unos cuantos y la foto de la imagen que se ve en el interior. Además de la explicación de cómo construir uno.

 
Fig.2: Explicación de Diego de cómo se hace un Caleidoscopio.

Fig.3: Caleidoscopio de Lorena.
Fig.4: Foto realizada mediante un teléfono de la imagen del interior del Caleidociclo de Lorena.
Fig.5: Fotografia digital con la cámara de un teléfono del interior de un caleidoscopio de Abel.

Fig.6: Dos versiones calidoscopias de Diego generadas con el Photohop a partir de una foto.
  Y una vez que comprendimos la geometría de una imagen caleidoscópica generamos una nuestra a partir de una foto con la ayuda de un programa de diseño. En primera imagen que aparece, a la izquierda Diego ha hecho cuantro copias donde ha utilizado 3/4 transformaciones elementales del plano euclideo: giro+trnaslación+simetría. En la segunda imagen hay 8 copias de una misma imagen. En la segunda versión de 8 copias era posible utilizar la homotecia.

Esmeralda nos dejó una imagen más artística. En plena Naturaleza, parece un paisaje subrrealista.

Fig.6: imagen caleidoscopica1, 4 copias. Esmeralda.

Fig.7: Construcción de un Caleidociclo por Vanessa.
 
Vanessa nos contó cómo crear su caleidociclo.
 
Y Sonia, que continúa con el tema de las flores construye su caleidociclo.

Fig.8: Sonia con su Caleidociclo y su imagen caleidoscopica.

Fig.9: Caleidociclo acabado de Sonia.

  Y entonces vino Paco y pensó que había "poca" geometría y se basó en un anillo de un árbol.


Fig.10: Caleidociclo de Paco, basado en una imagen caleidoscópica.

Silvia hizo su caleidociclo para el peque de la casa, su hijo de dos años. Se basó en un cuento y con cada giro el caleidociclo contaba una escena. Una manera muy didáctica de contar cuentos antes de irse a dormir.


Fig.11: Caleidociclo de Silvia, basado en un cuento.

 
Fig.12: El giro del Caleidociclo permite cambiar de escena.

 Y ésto fué todo. Nos divertimos mucho con este proyecto y aprendimos que se puede jugar con la geometría.

Referencias:
Schattschneider,Doris; Walker, Wallace. M.C. Escher Caleidociclos. Evergreen GmbH, 2009.

KaleidoScope Making Kit. Kids Labs. Fun Science Products.






LA SEXTINA COMO COMPOSICIÓN 
MATEMÁTICO-POÉTICA

¿ES POSIBLE ESCRIBIR UNA SEXTINA 

ONOMATOPÉYICA MONOSILÁBICA?

Esta entrada participa en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas

cuyo blog anfitrión es Geometría Dinámica


 Una sextina es una composición poética, que tiene por origen la poesía trovadoresca, con una clara estructura matemática. Son 6 estrofas y un terceto, que se le llama tornada, cada verso tiene 8 sílabas, y las palabras-rima al final de cada verso son encadenadas con la siguiente estructura: 

ABCDEF – FAEBDC – CFDABE – ECBFAD – DEACFB – BDFECA, si volvemos a aplicar la regla tenemos de nuevo la primera combinación ABCDEF

Estas son permutaciones de la identidad ABCDE, así que estudiándolas de dos a dos tenemos:

ABCDEF..........CFDABE........DEACFB.....de seguir.........BDFECA
FAEBDC..........ECBFAD........BDFECA..............................ABCDEF   volveríamos a la identidad


El siguiente poema lo realicé para la clase de literatura medieval catalana de Abert Hauf i Valls en la década de los 90, fué mi segunda sextina, estabámos estudiando la poesía trovadoresca y fué una especie de "apuesta", me había quejado que con la anterior sextina había tardado 3 noches consecutivas para realizarla, cuando él decía que los poetas antiguos escribía durante 5 días, no como los poetas de ahora, que en 3 días creen que han acabado un poema. Pues la hice, tardé 7 días, y 7 más en entregársela ya que no sé que poema sería el siguiente en encargarma, no hubo más, la cara que puso cuando se lo enseñé...y me dijo que era un poema imposible, que no se podía realizar...evidentemente no desde el punto de vista teórico, pero a un poeta no se le dice lo que puede o no escribir, y más si ese poeta es matemático...Son 6 palabras buscadas en el diccionario de manera aleatoria, pero a la que a posteriori se le ha dado un significado. Esas seis palabras sean coloreado para hacer más fácil el seguimiento de estrofa a estrofa. (Hay una traducción al final del poema).

TROBAR
 "NYIC-NYIC"

I

Poc pany pel plor pres pel pit-Popa.
Tost tot taüt ter-trist text teu i..., "TAT"!
carn cau com coc, cal cor com còncau
bes boig baix bard bord, bes Bio-Bit
dorm, doncs "don Drac-déu" diu: de Dada-
-gra, gris guany" got glot, gai grall Gong.


II
Gran graal, gas-got, guant glot, greu gong
pot, pell per pas, prou pols: "Poll-Popa
de dea dins dels dents del Drac". Dada
té traç trop troan: tot trets tos TAT!
"bios" , born bres boig bran. Ball bord-Bit
com cos crea carn, carn cau cós còncau.

III

Crec que cras "caid-coc" creix can còncau
griu guia guants, galls, gots,...grups!.Glaç gong
bull, braç baix bran, bard baix ban. Bit
plint-peu, preu pel pa i plor. Popa
t'he té a tu tens?. Tatx temps tro TAT
dins d'un dau dorm dard d'un dret: "Dada".

IV

"Drut d'un déu, drut de deu danys". Dada
cria creus can cors, cluns, clans, corts, còncau
temps...tro al trit tron, tot trop trau un TAT!:
"Grial guia gots", gloc-gloc glot: grony i Gong!.
"Pa i pell preu peix". Plor pres per popa
i bes, bull "bios" bord baix born, baix Bit.

V

Balç beu be, brell!, bleix blei brut Bit.
Dubt dur dany dins "Drac-déu", de Dada
plint, prou polls per pols-putx, puix popa
cau can "coc, creu i criat" creen clan. Còncau
gas, griu gany, guants, galls, grups!; gai gong
té tau-tau text triat: "TRONC-TORD". TAT!.

VI

"Tot traüt té tron, tot taüt tuf!". TAT
brot bruix: bard?, but-but?, bes?, buit?, Bit?
got?, got!, glot pot, got-guia, got-gong...
"Dau als déus" diu Drac, buct del dau. Dada
creix can clan crea cria, com corn còncau
perd pau per pou i poll, preu per popa.

TORNADA

Tost "Trons-Taüts". TAT!: "Drac-dea" diu Dada.
Bard-buit, bord Bit, carn, criat...Cras còncau
Grial, guió glot. Gong!, pres pas per popa.


30-IV-1993
Araceli Giménez Lorente


   Poca cerradura por el llanto preso por el pecho 
   Pronto todo ataúd _triste texto tuyo y...¡TAT!,
   carne cae como gusano, corazón como cóncavo
           beso loco bajo (1) poeta bastardo, beso Bio-Bit,         
   duerme, entonces "don Dragón-dios" dice: de Dada-
 grano. gris ganancia" vaso (glot), alegría (Gong_sonido)

Gran grial, gas-gota, guante gota, grave gong (sonido)
puede, piel por paso, basta (un) pulso: "polvo-popa
de diosa dentro de los dientes del Dragón"
tiene trazo (de un) (2) verso: todo rasgo (3) occipital, (TAT_golpe)
"bios" , cuna bastarda,  (4) espada loca. Baile bastardo-Bit
como (el) cuerpo crea carne, carne cae corazón cóncavo

Creo que un grave error "(5) caid-gusano" crece cóncavo
(6) grifo guia guantes, gallos, vasos,...grupos!.Helado gong (sonido)
hierve, brazo bajo (4) bran, bárbaro bajo bando. Bit
(7) plint-pie, precio por el pan y el llanto. Popa
te tienes a ti?. Tacha el tiempo del trueno TAT
dentro de un dado duerme un dardo de un derecho: "Dada".
                                                                


"Amante de un dios, amante de diez males". Dada
cria cruces hacía corazones, clanes, cortes, cóncavos
tiempo...trueno al triturado trono, todo (2) trop tiene un TAT!:
"Grial guia vasos", gloc-gloc glota: riña y Gong!.
"Pan y piel precio de pez". Llanto preso por popa
                                   y beso, hierve "bios" bastardo bajo bastardo, bajo Bit.


(el) Precipicio bebe bien, brell!, respira cansado el sucio Bit.
Dudo (un) duro daño dentro (del) "Dragón-dios", de Dada
(7) plint, bastante polvo por pulso-golpe (de estado), pues popa
cae hacía el "gusano, (la) cruz y (el) criado" crean (un) clan. Cóncavo
gas, (el) grifo (se) queja, guantes, gallos, grupos!; alegría (de) gong
tiene medianamente (un) texto elegido: "TRONCO-TORDO". TAT!.

"Todo tributo tiene trono, todo ataúd tufo!". TAT
brote brujo: bastardo?, but-but?, beso?, vacío?, Bit?
vaso?, vaso!, vaso bote, vaso-guia, vaso-gong...
"Dado de los dioses" dice (el) Dragón, cavidad del dado. Dada
crece hacía el clan crea, cria, como (un) cuerno  cóncavo
pierde paz por (el) poco y polvo, precio por popa.

Pronto "Tronos-Ataúles". TAT!: "Dragón-dios" dice Dada.
Bastardo-vacío, bastardo Bit, carne, criado...Gran error cóncavo
Grial, guión, vaso. Gong!, preso pasa por popa.


(traducción de la autora)
                 

Notas:
(1) entre los celtas, el poeta
(2) trop, son palabras mnemotécnicas, versos que se añaden en las misas a cantos o lecturas.
(3) occipital es un hueso del craneo, de la frente.

(4) bran, espada que se manejaba con las dos manos.

(5) caid, en los pueblos del norte de África, oficial público que tiene funciones de gobernador, juez y  jefe militar.
(6) grifo, animal mitológico, mitad águila mitad león.
(7) plint, parte inferior de la base de una columna de forma cuadrada.
(8) brell, trampa para cazar pájaros.




La estructura poético-matemática de esta sextina es la siguiente, fonéticamente jugamos con los bonemas PTK y BDG. Es evidente que las 6 primera coplas parecen una matriz cuadrada 6 x 6:

                     SEXTINA ONOMATOPÉYICA

I ª Copla:                     P      T       K     B       D      G
                                  a8'    b8'    c8'    d8     e8'     f8

IIª Copla:                    f8      a8'    e8'    b8     d8     c8'


IIIª Copla:                   c8'     f8     d8     a8'     b8    e8'


IVª Copla:                   e8'     c8'    b8     f8      a8'   d8   


Vª Copla:                    d8      e8'     a8'   c8'     f8    b8


VI Copla:                     b8      d8     f8    e8'     c8'   a8'



TORNADA                                      b8-e8'

(TERCETO)                                    d8-c8'
                                                       f8-a8'


*Nota: 8' indica que la palabra no es monosilábica pero tiene la primera sílaba tónica, acentuada y se cuenta esa primera sílaba y no las que vienen después.

**En éste poema no existe narración, texto, todo queda en la fuerza simbólica de la palabra y a la frase.


                                  SIMBOLOGÍA

1ª. Popa, sustantivo femenino singular, significa pecho femenino, es sonora, simple y polisémica.

2ª.TAT, alude al lenguaje infantil y sugiere sorpresa. Elegida por ser muy sonora y representar una acción.

3ª. Còncau (Cóncavo), Ramón María del Valle-Inclán en Luces de Bohemia dice: "Los héroes clásicos reflejados en los espejos cóncavos dan el esperpento".

4. Bit, La neurona no es igual al Bit, dentro de la simbología de mi poesía, las neuronas metropolitanas, informatizadas llenan el cerebro de la actual civilización.

5. Dada, f. dato, en referencia a un elemento para una sociedad basada en la ciencia.

6. Gong, el sonido tan metálico es parecido al sonido dentro de una fábrica, en relación a la revolución industrial.

7. Got, (vaso), "en el mundo hay sed, pero existen los vasos", es una de las frases de mi poesía.



Como conclusión tenemos que si, si es posible hacer una sextina onomatopéyica monosilábica, eligiendo biene el idioma y con unas pautas de rima y de matemáticas. ¿Quereis provarlo?



Referencias

Fabra, Pompeu. Diccionari Manual de la Llengua Catalana.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sextina




EL ORÍGEN DE LOS NÚMEROS

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cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension




Comparación entre diferentes alfabetos numéricos de origen digital . Tesis (1).

Los primeros alfabetos numerológicos son en binario, y binario no quiere decir en base dos, son en binario y en base 10, en base 20 o en base 7, aunque a simple vista no lo veamos tienen una explicación muy sencilla, en primer lugar todos hemos oído hablar del sistema decimal (el nuestro) y del vigesimal, como el que tienen los vascos o los franceses, se trata de contar sólo con las manos o con las manos y los pies, pero es contar uno a uno, veamos, el sistema maya cuenta las huellas de los dedos, un punto, dos puntos, tres puntos...al llegar al cinco es una horizontal, pues es la mano extendida, y el 10 son dos manos paralelas que se suman; el romano, el etrusco y el vasco cuentan con las falanges, y el número 5 es una mano abierta, el 10 son dos manos cruzadas, o en cruz o en X.


Veamos un sistema curioso, el sistema septenario, el sistema vasco arcaico, aunque en la actualidad es vigesimal.

En 1992 la revista Euskal Etxea publicó un artículo llamado El sistema numérico vasco, donde la investigadora estadounidense Roslyn Frank de la Universidad de Iowa junto con el doctor John D. Patrick de la Universidad de Deakin (Melbourne, Australia), del departamento de Matemáticas desarrolla esta teoría relativa al sistema en base siete de los vascos.



El peso de los sacos de trigo en Dima, Bizkaia.
Foto de la revista Euskal Etxea.


Aquí tenemos el alfabeto numerológico vasco.


Fué recopilado y reconstruido por el grupo etnológico "Larratzu" de Dima. Los números van del 1 al 100 y no aparece el 0, es evidente porqué lo que se pretendía contar era el peso de los sacos de trigo, y sino hay nada que contar pues simplemente no se cuenta.





Llegaron a hacer unos calendarios, el grupo etnológico , donde dedujeron incluso el número 1000, aunque no creo que sea correcto. Vamos a estudiar ahora el sistema en base 7. Parece que con este sistema se define la circunferencia de cualquier figura cerrada, como el círculo, el octógono, se define una totalidad de 1440 partes o un múltiplo (144), y con este concepto se define espacio, tiempo y ángulo; también se tiene la medida del gizabete, siete pies, o un grado de arco del meridiano, 70 tercios de una legua, así que 70^2 son 4.900 tercios de leguas cuadrado, también se tiene el gorapila (nudo) que son 49 pies. Parece que todo el estudio hecho por el matemático John D. Patrick le hizo llegar a pensar que era un sistema geodético, donde la curvatura espacial-temporal, relativa al movimiento Tierra-luna era un buen sistema de navegación para exploradores vascos como Pizarro.

¿Y cómo convertimos un número a base septenaria?. Pues si para pasar de un número a base dos hay que dividir entre 2, para pasarlo a base 7 habrá que dividirlo entre 7. Veamos un ejemplo:

3287 | 7                                       Así 3287)10 =12404)7
      4     469 | 7                            
              0     67 | 7                      
                       4    9 | 7                
                           2   1                  





A este sistema en base 7 le queda muchas horas de estudio y sobretodo la búsqueda de otras evidencias, como puede ser los mojones que marcan el camino de Santiago que pasa por Navarra que a simple vista parecen estar escritos en números romanos, o quizás no. También podríamos estudiar las estelas funerarias, quizá esten ocultos entre símbolos o simplemente veamos un símbolo y no una cifra, no un número. Pero eso será cuestión de escribir otro post en otro Carnaval.


Referencias:
Bibliografía
Giménez Lorente, Araceli. L'escultura al paleolític. Lectura des d'una visió contemporània. Capítulo 2: Aiesthesis. Tesis doctoral, dirigida por Dra. Ángeles Marco Saturnino. Universitat Politècnica de València, diciembre 2004.

Revistas:
Euskal Etxea. El sistema numérico vasco. Nº 21, 1992.

webs y blogs:






POSTAL DE ESTUDIO
EXAMENES ENERO DEL 2013
 
 Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es  La Aventura de la Ciencia




Debido al conjunto finito numerable de exámenes que tenemos entre enero-febrero, dejo mi aportación humorística para animar a todos los estudiantes que todavía somos de la Licenciatura en CC. Matemáticas (!vale!, también a los del Grado). Se titula. Estudiando a todas horas. Realizada con mucha imaginación y la ayuda del Photoshop.

  El fondo es la biblioteca de la Universidad de Warwick (UK), el lugar donde más libros de topología he visto.

Un saludo y ¡feliz mes de exámenes!.



POSTAL TOPOLÓGICA 2012

 Esta entrada participa en la Edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES



 
Aquí tenemos una família Klein que están pasando las vacaciones en la luna ya que sus miembros al final se han puesto de acuerdo en donde pasar las vacaciones, pero por motivos diferentes; los padres creían que en la luna había una convención matemática, ya que los cráteres llevan el nombre de los grandes matemáticos.


Cráter Euler. NASA

Mientras que los gemelos querían ver en primer fila el final del mundo. Muy a su pesar la NASA les ha dado malas notícias a ambos, pues el calendario maya se reinicia, así que no se acaba el mundo, y no encontraron matemáticos en la luna, (aunque algunos si lo estemos), simplemente los cráteres lunares llevan el nombre de todos ellos.

  Pero una vez allí, cerca del cráter de Leonhard Euler han instalado su campamento. Han construido un iglú con el hielo de algunos cráteres del polo sur, porque realmente en la noche hace frío, -233 º C. Y ya tienen listo su árbol de navidad, es una espiral que tiene por estrella un dodecaedro estrellado. También han traido a su mascota, Icosín, una mascota de muchas formas,  y la mamá Klein luce un collar de una superficie de seifert, todas son maravillas del  mago moebius.
Empecemos por los adornos del árbol de navidad, esfera de luz multicolor del fotógrafo ruso Andrey Armyagov , la segunda esfera azul que adorna el árbol de navidad de la família Klein es del fotógrafo Denis Smith, no es una manipulación con un programa de diseño, sino que simplemente es una cuerda de luz que la hace girar para obtener la forma esférica.

Ahora pasamos a nuestros personajes, los gemelos revoltosos son un render de un programa de diseño computarizado llamado Maya, que utiliza un motor de render muy potente llamado mental ray, realizado por  DivineError. Llevan una bufanda que es una banda de Moebius de Acme Klein Botlle, que se ha modificado el color con el equilibrio del color del Photoshop, previamente desaturándola.Y los papas son una botella doble de Acme, que lo que los diferencia es el gorro de Acme y la superficie de seifert. La bandera es un sello de Euler del 2007 ilustración de Angelo Boog, del correo suizo que commemoró el 300 aniversario del nacimiento del padre de todos los matemáticos.

Y sobre la mesa tenemos cocina matematica, una madalena copo de nieve, la isla de von koch; un bizcocho Menger y un plato fractal de Arzak.  La  cubertería  es  fractal, se llama The infinity Set, donde la cuchara es un conjunto recursivo, el tenedor es un conjunto de Cantor, el cuchillo es una curva de Koch, esto es un diseño realizado con un programa de mapa de bits que es el Photoshop, el autor es LhoghoNurbs. La taza es topológica, si hacen un zoom sobre la imagen podrán leer: la topologia requiere una imaginacion torcida (Topology Requires a Twisted Imagination). Para finalizar la  mesa es otro cantar, es una mesa Nassa.

Todos estos elementos constituyen la postal topológica de las navidades 2012, realizada con el Photosop y un poquito de imaginación, es un foto-collague. Espero que les guste. Les deseo unas felices fiestas y un próspero año nuevo.

Referencias






GEOMETRÍA EN LA CIUDAD DE VALENCIA
 
Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es 
pimedios



REDES

Lonja de Valencia. Gótico civil, construida entre 1482 y 1548



ESPIRALES



Nautilus. Foto de Joaquim Bérchez. (La lonja, 2003)

ESTRELLAS


Boveda de la sala capitular de la Catedral de Valencia.



CURVAS FRONTERA


Cubierta de la estación del Cabanyal en Valencia. Representación en Mathematica

Estación del tren del Cabanyal. València



Cubierta del Palacio de Congresos en Valencia


Palacio de Congresos en Valencia



Vista aérea del Palacio de Congresos (Valencia)




Umbrenacle de Santiago Calatrava
Cubierta del Palacio de las Artes y las Ciencias en Valencia. Obra de Calatrava

Palacio de las Artes y las Ciencias, Valencia.
 

PARÁBOLAS Y RECTAS

Puente de l'Assut de l'Or. S. Calatrava


Representación 3D CAD del puente "la peineta" de S.Calatrava

El puente de S. Calatrava muestra una parábola con rectas en forma radial hacia un punto de fuga omitido.

Puente la Peineta de Valencia


PLANOS
Dos planos paralelos cortados por un tercer plano oblícuo.

  Contando la base tenemos cinco planos paralelos y en esta vista los corta dos planos más oblícuos que son las escaleras.

Veles e Vent. David Chipperfield y b720 Arquitectos. 2006

ESFERAS GEODÉSICAS

  La cúpula geodésica es la mejor configuración geométrica de la esfera, lo que se llama forma óptima, de hecho la crea con el mínimo recubrimiento. Al igual que un grafo presenta aristas y vértices que en este caso se llaman nodo, se trata de triangular una superfície, para ello partimos de un poliedro, de uno de los sólidos platónicos, normalmente es el icosaedro o el dodecaedro.


Diagrama de Schlegel para un icosaedro e Inversión de la triangulación de Delaunay sobre la esfera.


Malla geodésica


Cúpula de aves en el Oceanográfico de Valencia.
En el Oceanográfico de Valencia tenemos la cúpula de cristal que corresponde a una cúpula geodésica. Es en realidad una gran jaula de clima tropical para aves y peces. Una vez más encontramos geometría, lo que es usual en una obra de S. Calatrava.

  Aquí tenemos otro ejemplo de la Feria de Valencia, obra del arquitecto José María Tomás Llavador.




 ESFERAS Y MEDIAS ESFERAS

 No se puede hablar de la geometría en la arquitectura de la ciudad de Valencia sin hablar del arquitecto Santiago Calatrava, que tiene por norma la geometría y muchas veces la anatomía humana, este es el caso de l'Hemisfèric que está basado en un ojo humano.


L'Hemisfèric



 Y por último volvemos a la arquitectura medieval que tiene Valencia. Aquí tenemos un ejemplo de las torres ortogonales de Serranos que en su día cerraron la muralla de la ciudad, dando así al dicho que dice que te quedas "a la luna de valencia", fuera de la muralla.

¿CILINDROS?

Torres de Serranos

Vista trasera de las Torres de Serrano




Referencias













MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA

Esta entrada participa en la Edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Series divergentes



Como bien indica el nombre de este blog,  El Mundo de la Ideas, siempre he imaginado como sería ese Mundo en el que Platón nos habla de las ideas en su concepto más puro, y de existir me he planteado que las matemáticas están hay fuera, en alguna dimensión donde existe la idea de los objetos matemáticos. Nuestra especie no inventa, copia de la Naturaleza, así que existen toroides en la nube de gas de los volcanes, como un juego que crean los delfines, las belugas y las ballenas misticetis en general. Como podemos ver en este video.


  ¿Y que otros objetos matemáticos existen en la Naturaleza?...
...pues todos, pero los estamos descubriendo poco a poco. 

  Seguimos con la esfera, ¿han visto pescar alguna vez a las ballenas en grupo?...hacen un círculo donde acotan el espacio, y emergidas como un iceberg van cerrando el círculo totalmente sincronizadas, a la vez que hacen burbujas en el agua, los peces no pueden atravesarlas y además estas burbujas bajan peligrosamente el oxígeno del agua, y como los peces se "ahogan" suben a la superfície del océano para respirar, entonces las ballenas cierran el circulo con las bocas bien abiertas para poder engullir los peces. ¿Tienen una especie de tecnología basada en la transformación del agua?, pues eso parece, una red circular de burbujas aleatorias de oxígeno. Pero cada manada tiene su propia técnica, veamos un video.




  "No se puede ser más simétrico que una diatomea", esta debería ser una frase en la vida cotidiana, al menos en la vida de un matemático. Veamos, las diatomeas son unas algas unicelulares microscópicas que tienen una pared celular de silicato (frústula) y que posiblemente tengan esas morfologías para optimizarse ya que como vegetal depende del sol para realizar la fotosíntesis.


Y ya sabemos que la naturaleza a veces corresponde a la geometría fractal. Como por ejemplo los copos de nieve. ¿Sabeis que con toda la nieve que hay en el mundo no hay dos copos de nieve iguales?, ¿pero sabeis por qué es así?...es un patrón que no se repite. Veamos primero que es, es una gota de agua congelada entorno a una mota de polvo, a una temperatura de -12º C aproximadamente y con aire atrapado en su interior el cristal tendrá forma de prisma hexagonal. La formación de los cristales de nieve tiene tantas variables: la temperatura, la presión, la cantidad de agua o la velocidad de anexión, que la posibilidad de repetir el patrón es escasa o inexistente.




Veamos un video de la Universidad de de Wisconsin- Madison (USA) presentaron un modelo matemático, una simulación de configuraciones posibles de copos de nieves en función de las variables antes nombradas.


Recordando también los fractales que corresponden a comportamientos de la Naturaleza, que son los sistemas binarios atractores.repulsores. Como tenemos en estos dos ejemplos, que son una erupción solar como repulsor y un huracán, como atractor.





Y no hay que olvidarse de las constantes, como el número PHI que aparece en plantas como en el girasol, en el nautilus...y del que ya hemos hablado en otra ocasión.



  Y además de la geometría tenemos también el concepto de la topologia, bajo el microscopio vemos las amebas, que pueden adoptar cualquier forma ya que carecen de membrana externa, membrana que usualmente delimita a los eucariotas fijándoles una forma. Como este protozoo no tienen forma las presas no le reconoce como depredador, simplemente no las ven, es decir, sabemos que un león es un león y no un ciervo por la forma, y también que los animales depredadores tienen los ojos bajo la frente, mientras que los animales predados los tienen laterales como el ciervo. ¿pero que haríamos sino viesemos la forma?.





Y por último tenemos una curva que llena todo el espacio craneal, que es nuestro cerebro (fractal de semejanza). Según las investigaciones del Dr.Etzel Cardeña y otros, sometiendo a hipnosis a sujetos subcestibles a ella, vieron con la ayuda de un escaner las zonas que se activaban cuando estos sujetos se abstraian de la realidad y entraban en un estado alterado de la conciencia. El resultado fué que todos ellos veian retículas constructivas, las formas básicas en geometría y los colores primarios, ello llevó a la hipótesis de que nuestro cerebro presenta unas estructuras visuales prefijadas, que sin ellas no podemos "entender" las formas que vemos. ¿Pero de donde vienen?, ¿son formas aprendidas de la Naturaleza?, y si es así, ¿de donde le viene a la Naturaleza?...Quizás vengan del Mundo de las Ideas que imaginó Platón.





Referencias






GEOMETRÍA 
EN LA ARTESANÍA DE NAVARRA

Esta entrada participa en la Edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es ZTFNews.org


   Esta entrada desea hacer un homenaje a nuestros antepasados, muchas veces llamados analfabetos o incultos y que a pesar de no haber podido ser universitarios tienen un "saber popular" que cualquier Universidad lo quisiera tener. Ese saber popular lo estamos perdiendo y debería se patrimonio de la humanidad. En concreto se presenta una breve introdución a la geometría de la artesanía Navarra.

  Empecemos por el kaiku, que es un objeto que sólo existe en Navarra, un recipiente en una doble vertiente, sirve para recoger leche de cabra u oveja y para hacer cuajada. Es de madera de boj o de abedul, que son maderas muy blandas, blancas y fáciles de tallar, pero lo curioso de este objeto de artesanía es su forma, se talla de un tronco de un árbol que se vacía a golpe de hacha, la base se quema levemente para endurecerla y que no se abran los anillos del tronco, además de para ver visiblemente hasta donde hay que llegar con el hacha, pero si la base es un círculo, siguiendo la forma natural de los anillos arriba tenemos una elipse; y una de las paredes del cilindro tiene una inclinación necesaria de entre 45º-55º, ¿y necesaria por qué?, porque a pesar de toda la tecnología que poseemos en el siglo XXI no se ha podido mejorar este diseño, si el kaiku no tiene esa inclinación, no se cuajará la leche y por lo tanto nos quedaremos sin cuajada para desayunar, ¿curioso, no?.

Fig.2. Dibujo arqueológico de un kaiku, la inclinación tiene 55 º aproximadamente, de base un círculo y arriba presenta una elipse, o círcunferencia deformada.

Las estelas funerarias son discoidales, a veces presentan el símbolo del lauburu pero que gira en sentido contrario al del movimiento del sol.

Fig. 3. Estela funeraria discoidea, con el símbolo del lauburu. Navarra.
Fig.4: Estela funeraria discoidea. Navarra.


Fig.5. Estela funeraria discoidea. Con cuatro símbolos vascos relacionados con la estrella de cinco puntas. Navarra.

Fig. 6. Estea funeraria discoidea. De significado desconocido. Navarra.


Fig.7. Estela funeraria discoidea. Representa el Sol. Navarra

Y en casa la tradicción marca que los espiritus de los antepasados tengan un hogar, así que tenemos el argizaiolak (tabla de cera), que contiene el argizabal (luz ancha), que es una vela fina de dos metros de longitud, aproximadamente. Se puede observar que mantiene las proporciones, empieza y acaba con un círculo, en el círculo de arriba está grabado el símbolo del lauburu (cuatro cabezas), este símbolo tiene una simetría, si gira en sentido contrario de las agujas del reloj sigue la pauta del sol de este-oeste, y entonces representa la vida, pero si por el contrario el símbolo gira en el sentido de las agujas del reloj representa la muerte; este símbolo es internacional, teniendo en cuenta que en oriente todos los símbolos son reflejos, es decir, que giran en sentido contrario a los nuestros, en oriente es el doble ying-yang. El símbolo de abajo es la división de una circunferencia entre 6 circunferencias, y significa la flor del árbol de la vida. En la imagen queda patente la geometría de los dos símbolos.



Fig. 8. Dos símbolos que aparecen en el argozaiola de abajo, de izquierda a derecha, el lauburu que gira en sentido de las agujas del reloj y significa la muerte, y la flor del árbol de la vida, que significa la eternidad. 

 

Fig. 9.  Argizaiola, origen Iruña, 2004. Colección particular.


Fig.10. Argizaiolak en Amezketa (Gipuzkoa)

  En Navarra ya muy pocas famílias encienden el argizaiola en momentos determinados del año, y está desapareciendo la costumbre; sólo en un pueblo de Gipuzkoa, Amezketa se mantien la costumbre de encenderlos en las iglesias, una vez más los mitos sobreviven adaptándose a otras culturas. Este es otro objeto único en la cultura vasco-navarra que se extendió por la zona de gipuzkoa que limita con Navarra.

En las casas y en las iglesias encontramos forja de hierro con símbolos geométricos asociados a la geometría sagrada. Suelen ser espirales, laberintos o el árbol de la vida. Algunos balcones más antiguos son de madera, como en la figura 11.

Fig.11. Balcón de Larrasoa (Navarra).
Fig.12. Auza. Navarra
En las puertas de las casas de los pueblos de Navarra también encontramos geometría, algunas está asociada a la flor del cardo, que se pone en las puertas para protegerse de los personajes mitológicos que se piensan que son malos espíritus o para que no caiga un rayo en la casa. Pero lo que nos atañe a nosotros es la geometría presente en las casas, que viene reforzada por flores en las que versa todo sobre un círculo central que se expande de dentro hacía fuera. Eguzki lorea que significa la flor del Sol, y que nosotros conocemos como la flor del cardo encierra también una constante, el número phi, veamos la doble espiral que se aprecia en la imagen 14.

Fig.13. Eguzki lorea (flor del cardo silvestre). Símbolo que respresenta el Sol.
Fig.14. Detalle de la flor del cardo donde se muestra el número phi.
Podríamos seguir hablando de la gedometría implícita en la artesanía de Navarra, pero ahora sólo pretendemos una breve introducción. Se propone una actividad didáctica para los alumnos de cualquier ciclo. Se trataría de buscar en tu pueblo o en tu cultura geometría implícita en la artesanía, en recipientes de madera o de cerámica, en la forja de las verjas, o balcones, en las antiguas puertas de madera e incluso en las estelas funerarias antiguas, y preguntarle a tus mayores, a las personas de más edad de tu pueblo si recuerdan qué significan los símbolos associados. Sería una manera de conservar nuestro patrimonio cultural frente a la globalización. Es todo un reto, ¿nos atrevemos?.

Referencias

http://lacomunidad.elpais.com/anaartieda/2008/8/18/eguzki-lorea-flor-del-cardo-silvestre-carlina-acaulis-
http://www.archivosgenbriand.com/asaben_gurtza.html 





EL NÚMERO PHI
en la Naturaleza

Esta entrada participa en la Edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Scientia



Primero contestaremos a una pregunta. ¿Qué es el número Phi?. Pues es una relación geométrica sencilla, si cogemos un segmento y la dividimos en partes que no son iguales, la suma de sus partes es igual al total...Es más sencillo con una imagen:


Y este número Phi en un número infinito, una constante que equivale a:


¿Y porqué nos interesa?. Quizá porque una está de exámenes y está cansada de aprender tanto teorema, lema, proposición, corolario, demostración...y quería recordar el porqué me encantan las matemáticas, aunque para ello me tenga que remontar a la idea de los griegos, de Pitágoras, e incluso de Platón, porque las matemáticas existen en la Nuturaleza, y en concreto el número phi es una constante, que veremos a continuación. Esta constante la hemos analizado en profundidad en dos referentes naturales, el nautilos y la estrella de mar. Ha sido uno de los talleres que hemos realizado en  la asociación High Ability Dimension, y fué la continuación de los talleres en los que empezamos un Cuaderno de Campo que presentamos al Carnaval de Biología
   
  Empezaremos a ver la relación entre el número Phi y el nautilus:

El rectángulo áureo y la espiral logaritmica en el nautilus.
Así que traje un nautilus partido por la mitad y empezamos a dibujar la espiral logaritmica y a continuación el propio nautilus, viendo así la relación de la imagen anterior.







 Pasamos a buscar la relación geométrica en la Naturaleza, en concreto en las estrellas de mar.


 Primero calcamos las estrellas de mar. ¡Vaya!, ¡no son perfectas!.



Ahora había que encerrar la estrella en un círculo y construir un pentágono sobre el que poder trabajar.



Gerard pensando

Algunas estrellas eran más complicadas que otras, pero les ganamos la partida, ¿será porque los niños se han criado con Bob Esponja?.
 

Encarni cogió la estrella más difícil



Álvaro de 11 años, con su trabajo final de la estrella.

Aquí tenemos el trabajo de Encarni de 9 años

E incluso les sobró tiempo a los niños para gastarme una broma con la tapa del objetivo de la lupa binocular, y unas gomas elásticas que teníamos para cubrir y sujetar con un plástico la lupa. La idea fué de Victor.


¿Y dónde más podemos encontrar el número Phi?. Veamos unas imágenes.

En los huracanes su crecimiento es una espiral logaritmica.

Si miramos con un telescopio y con una mente matemática tendremos esta imagen

En los girasoles

Curioso, es una doble espiral.













En las plantas


Newton si se comió la manzana también conocía el número Phi.



 Y si nos miramos a nosotros mismos también encontraremos el número Phi.




Es decir, donde miremos mientras sepamos observar encontraremos el número Phi, ya que este es una constante de crecimiento, es un crecimiento rápido, logaritmico y óptimo. Es decir, la manera más rápida que se tiene en la Naturaleza de crecer aprovechando el espacio.

Si quereis aprender más os dejo un video.



Y una referencia biliográfica:

Livio, Mario. La proporción áurea. La historia del Phi, el número más sorprendente del mundo.  Editorial Ariel. Barcelona, 2006.




JUGANDO CON LA GEOMETRÍA 
DE LAS POMPAS DE JABÓN

Esta entrada participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas
cuyo blog anfitrión es Gaussianos



El pasado 13 de mayo, nuestro cibermentor/mentor José Luis Rodríguez Blancas bajo el nombre del Mago Moebius realizó un taller para los niños de la Asociación para el Desarrollo de las Altas Capacidades y el Talento High Ability Dimension. Fué una verdadera clase magistral, de esas que se echan de menos en la Universidad. Primero empezamos por averiguar qué es una superfície mínimal, pues es aquella que cuando tenemos una curva cerrada en el espacio, la mínima área posible es la de la curva dada. Vimos el teorema de la Pompa Doble que es un principio básico, cuando tenemos una pompa doble es que se han unido dos pompas y tendrán la forma con la menor área posible, la pared que tienen en común se desplazará, es la pompa de menor tamaño la que tiene más fuerza y empujará a la más grande, ya que las más pequeñas tendrán una presión interna mayor. Si tenemos dos pompas o más, se colocan de forma que sólo se tocan tres paredes en una misma línea, y los ángulos de separación son de 120°. Esta es, la razón por la que las celdas de un panal de abejas usan ángulos de 120°, en forma de hexágonos. Sólo cuatro paredes de pompas se pueden encontrar en un mismo punto, en el que las líneas donde se encuentran los tripletes de paredes están separadas por 109º 28', estas son las leyes de Plateau que enunciaremos a continuación.


Primeras nociones dadas por José Luis
Las leyes de Plateau. 

El físico belga  Joseph Plateau  formuló en 1873 tres leyes que llevan su nombre: 

1.En una arista se encuentran exactamente 2 láminas de jabón formando  un ángulo de 120 º. 
2. En un vértice se encuentran exactamente 3 aristas, formando un ángulo de aprox. 109 º 28' 
    (= ángulo tetraédrico). 
3. El ángulo que forma una lámina de jabón que se desliza sobre otra superficie  es de 90 º.

Una vez aprendida la teoría realizamos experimentos matemáticos. Construimos figuras geométricas con el juego zome. Formamos poliedros como tetraedros, cubos, octaedros y dodecaedros para sumergirlos en jabón y ver que superficies mínimas se generan en su interior. 

Primeros pasos, Encarni formando un triángulo.

Ya tenemos el tetraedro y miramos la superfície mínima.


Con el octaedro se vuelve más interesante.

El dodecaedro encerraba una sorpresa.

Otro experimento fueron las pompas con alambres. Vimos una pompa sin aire y esta tenía la forma de una silla de montar. Analizamos y jugamos con la superficie de Schrerk, un catenoide y un helicoide. Nos sorprendió la cinta de Möbius, y otras superficies en alambres cerrados que inventaron los niños.

La banda de moebius

El helicoide

¡Pero que lío!.


Nudo con alambre

Formando el catenoide

¿Qué ocurre si pinchamos en el interior de un hilo cerrado posado libremente sobre una lámina de jabón?.


Arnau, de 10 años, experimentando con una superfície mínimal.

Tambiém experimentamos con espejos para formar figuras simétricas y ver la proyección en vertical y en ángulos de 90 º y 60 º.  Fotografiamos algunas.








Vimos las formas en arquitectura e ingeniería. Construimos una pequeña maqueta, una carpa con corcho, palitos de madera e hilos, al estilo de la del estadio olímpico de Munich.

Álvaro, de 11 años, con su carpa.



¡¡¡Nos lo pasamos genial!!!. Esperamos poder repetir la actividad, ahora que tenemos sol y no importa mojarnos. Muchas gracias José Luis por darnos esta oportunidad de hacer matemáticas con las pompas de jabón. Las caras de los niños lo decían todo, aunque aquí no las muestro para protegerlos.

Araceli Giménez Lorente
Fotos de Ruth Ciscar



LA ESFERA TRANSFORMABLE
Un juego de muchas formas

Esta entrada participa en la Edición 3.141 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es
DesEquiLIBROS. Lectura y Cultura.
  



 La esfera transformable es una versión-juego de la Esfera de Hoberman. Es un concepto que viene del icosaedro y de la idea de la cúpula geodésica, pero se dilata y se contrae debido a que a pesar de mantener estables los vértices se mueven algunas aristas. La primera versión, digamos que el prototipo original se contrae hasta 15 cm de diámetro y se expande con un diámetro máximo de 70 cm. Su autor es Chuck Hoberman.




C. Hoberman es un inventor, ingeniero, arquitecto, artista y empresario, ha trabajado en robótica y está especializado en estructuras que se pliegan y se expanden. Es decir, es un diseño transformable todo lo que hace. Esto es útil por ejemplo para el diseño de las naves espaciales, ya que hay que recordar que los paneles solares se despliegan. Y con lo caro que está el terreno vendría bien plegar una casa cuando no estemos dentro.

   Y para enseñar/aprender las matemáticas, ¿que más podríamos hacer con la esfera transformable?, además de jugar y descansar haciendo un anuncio entre tanto teorema, sobretodo de cara a los exámenes que se avecinan, podríamos explicar con la esfera el concepto de contracción y de dilatación e incluso de homeomorfismos de esfera.

Veamos como se juega a crear homeomorfismos de esfera, con una versión hecha en la India y que pertenece al comercio justo.






 
¿Y tu, quieres jugar?
¿Se te ocurren más formas?
...Seguro que si, recuerda que algo puede cambiar de forma pero seguir siendo lo mismo en esencia, es decir, que conserva unas propiedades. Y lo que estudia la topología son esos invariantes, es decir, lo que permanece y no cambia.




 EL JUEGO DE LA SERPIENTE DE RUBIK 
Y EL TEOREMA TRIANGULACIÓN

Esta entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es
 Hablando de Ciencia, la ciencia al alcanze de tu mano

Copo de nieve

 Una de mis primeras figuras corresponde a uno de mis objetos matemáticos preferidos, el copo de nieve que corresponde a un fractal de semejanza, a la curva de Koch, pero eso es motivo de otro Carnaval. La foto es en la sala de estudio de la facultad, es uno de los anuncios que hago entre estudio y estudio. Pasaremos a definir el juego.

  La serpiente de Rubik o Rubik's Twist, es un juego formado por 24 triángulos unidos, los triángulos de los extremos están conectados por un lado, mientras que los demás se conectan entre sí,  pueden girar 360º sobre su eje cada uno,  un giro sobre una recta es una curva diagonal hacia la derecta o hacia la izquierda, dos giros forman 90º, a partir de aquí todo es muy sencillo, pero pasemos a analizar los ángulos. Como son triángulos el primer giro es de 60º, el segundo de 90º, el tercero de 120º y el cuarto de 360º, se comprueba con el transpondedor de ángulos o semicírculo.

  Y estos ángulos en movimientos son los básicos. Se necesitan tres de los cuatro movimientos elementales del plano euclídeo, translación, giro y simetría, el juego no permite la homotecia, ya que las piezas trinagulares no crecen ni decrecen manteniendo sus proporciones.

  Ahora pasamos de la geometría a la topología, explicando el teorema de la triangulación de las superfícies.  Una superfície compacta y conexa se puede triangular de manera finita, para ello consideramos la superfície como un poliedro que tiene por elementos los símplex. Es como un triángulo de n-dimensiones. Un espacio topológico con esta propiedad es triangulable. Os pongo un ejemplo de triangulación de las superfícies modelo.
Triangulación de superfícies modelo
                                                   
Donde T es el Toro;  RP^{2}   es el plano proyectivo, que es una esfera sin orientación, es decir, sin norte  ni sur; y  S^{2} es la esfera.

  ¿Qué nos permite la triangulación de las superfícies?... adoptar cualquier forma como con la esfera transformable.






Para dibujar tenemos varios programas de diseño, uno de ellos es el 3D Studio Max, y nos permite hacer una malla con nodos y aristas, donde cada nodo equivale a un vértice, de manera que estirando del vértice conseguimos volumen, esferizamos o encogemos y así creamos formas.



Debemos recordar a nuestros abuelos ya que ya conocían la triangulación de las superfícies:


Volviendo al juego tenemos la forma del triángulo, con la que empiezan todas las triangulaciones. Esta foto es en una de las mesas del campus, después del postre en tertúlia con mis amigas.


Y nos despedimos con un video sobre las formas que puede adoptar el juego:


¿Qué?, ¿ha sido un poco rápido?. Si es así os dejo el  Manual de algunas figuras, para que practiqueis y os divirtais un poco o mucho.

¡OS DESEO UN FELIZ CARNAVAL MATEMÁTICO!



SOBRE LOS CRISTALES DE SAL. 
Arte, Diseño y Artesanía. Una visión matemática

Esta entrada participa en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es
Scientia potentia est

Un diseñador japonés, Tokujin Yoshioka ha hecho arte la cristalización de la sal.

Rose, una rosa cristalizada de  Tokujin Yoshioka
Aquí teneis un video de la exposición:
http://vimeo.com/36270440


Ha ganado el premio Creador del año 2012,  en la edición de Maison &Objet. Su proyecto de la cristalización que versa sobre lo cotidiano como una rosa o una silla se inició en el 2007. En concreto su rosa cristalizada y su presentación, dentro de una vitrina de cristal con unos pétalos rojos caidos que quedan junto a la rosa, y con algún detalle visible de lo que queda aún de la rosa como el tallo. Nos remite al arte zen, a la pérdida del objecto, y a su metamorfosis. 

Pero volvamos a la ciencia. Ahora nos toca un poquito de química-matemática, recordamos que los aniones son iones con carga eléctrica negativa ya que ha ganado electrones mientras que los cationes presentan la carga positiva.  El sodio (Na) tiene 11 electrones, en primera órbita hay 2 en la segunda 8 y en la tercera  1, que le proporciona su valencia más uno, tiende a perderlo, porque le sobra y por ello cristaliza rápido con el cloro, ya que el cloro necesita electrones. Se le llama sólido iónico al sólido que sus cationes y aniones se disponen formando una red cristalina . Esto nos suena a la teoría de grafos, donde cada vértice es un ión y cada enlace es una arista.

Fuente Wikipedia
Vamos a estudiar un poquito lo que son los sólidos iónicos, y su configuración, su geometría


















































































































































































































  • El empaquetamiento compacto de esferas, es la disposición de un número infinito de celdas de esferas de forma que la mismas ocupen la mayor fracción posible de un espacio infinito tridimensional. Con esta configuración se clasifican las estructuras más usuales de los sólidos iónicos. Gauss demostró que la mayor densidad media que puede obtenerse de forma periódica cumple la ecuación:\frac{\pi}{3\sqrt 2} \simeq 0.74048





























  • \mathrm{Longitud}_Z = \sqrt{6} \cdot {{d\over 3}}\approx0,816499658 d
    La segunda relación matemática corresponde con el mosaico hexagonal que sale de las líneas que unen los centros de las esferas x-y, con una distancia entre los centros de las esferas igual al diámetro. Esta es la distancia entre esferas paralelas en el eje z.



      • El empaquetamiento hexagonal compacto (ehc). Una secuencia ABAB.... de capas origina una red de celda elemental hexagonal.

      • El empaquetamiento cúbico compacto (ecc). Una secuencia ABCABC.... se corresponde con una celda elemental cúbica centrada en las caras.
       En ambos tipos de empaquetamiento cada esfera posee un número de coordinación igual a 12. En ambos tipos de empaquetamiento existe dos tipos de huecos, octaédrico (espacio vacío que queda entre seis átomos) y tetraédrico (espacio vacío que queda entre cuatro átomos). Por cada N átomos de una estructura de empaquetamiento compacto existen N huecos octaédricos y 2N tetraédricos.

       Ahora vamos ha hablar un poco de la estructura geométrica del cloruro sódico, es decir, de la sal común:
      •  La estructura del NaCl se basa en una disposición ecc (empaquetamiento cúbico compacto) de aniones Cl-, voluminosos, en la que los cationes ocupan todos los huecos octaédricos (espacio vacío que queda entre los seis átomos).
      • Cada uno de los iones está rodeado por un octaedro de seis iones contrarios. Por tanto, el número de coordinación de cada ion es 6, y se dice que es una estructura de coordinación (6,6).
      • Para establecer el número de iones que hay de cada tipo en una celda elemental, consideraremos la sigüiente relación:
        • a) Interior. Un ion del interior de la celda pertenece completamente a ella y cuenta como 1. 
        • b) Caras. Un ion situado en una cara es compartido por dos celdas y contribuye con ½ a la celda en cuestión.
        • c) Aristas. Un ion situado en una arista es compartido por cuatro celdas y, por tanto, contribuye con ¼.
        • d) Vértices. Un ion de un vértice es compartido por las ocho celdas que tienen ese vértice común, por lo que contribuye con 1/8. 
        Y la suma de los porcentajes:
        1+1/2+1/4+1/8=1,875

      ¿Complicado, no?

      Sigamos con una aplicación, esta vez en artesanía.

      Es un barco de sal, artesanía de Torrevieja (Alicante)

      La técnica que se ha transmitido de generación en generación para realizar los barcos de sal es la misma que utiliza el diseñador japones Tokujin Yoshioka, pero esta vez es una técnica ancestral. Se trata de sumergir un barco hecho con madera y tela en las lagunas de sal de Torrevieja, y dejar que el agua se evapore, al cabo de unos meses la sal se queda adherida a la estructura. Es necesario proteger los barcos de sal en una vitrina que conserven un grado de humedad y temperatura estables. Os dejo con unas fotos de las lagunas llamadas las salinas.

      Armando Aguilera
      ¡¡¡FELIZ CARNAVAL DE MATEMÁTICAS 3.1!!!

      NUDOS EN EL JUEGO DE LA CUERDA

      Esta entrada participa en la Edición 2.10 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es

      ¿Es un juego de niños no? . No se sabe el origen pero aparece el Juego de la Cuerda en todas las Culturas y épocas. Yo misma lo jugaba en el patio el colegio, y sigo jugando en la universidad.  Se ha transmitido a generaciones. Y merece la pena analizarlo, por respecto a nuestros antepasados.
         Nos parecen clases de geometría pero ¿hay algo más?. Es curioso que la cuerda cerrada se enrede y luego al soltarla volvamos al inicio, y desaparezcan los nudos, veamos que pasa.
      Jugando entre dos personas en la segunda iteración nos aparece una figura que llamaremos el pan:
      Sabemos que si soltamos la cuerda volverá  a su posición inicial, pero, ¿y si no lo supiésemos?, ¿lo podríamos averiguar utilizando las matemáticas?. La respuesta es sí, por teoría de nudos, y con la ayuda de los movimientos de   Reidemeister.


      Reidemeister probó un teorema que dice que dos nudos son equivalentes si y sólo sí existe una sucesión finita de movimientos y posiblemente una deformación en el plano, que nos permite pasar de un diagrama a otro.

      Se llama trivial a un nudo cuando se deshace en una circunferencia, o en una forma homeomorfa a ella. Con sólo tres tipos de movimientos podremos averiguar si es trivial o no el nudo. Así que simplemente dibujándolo tendremos una respuesta. ¿Y podremos seguir jugando?...

      Vamos a ver ahora si el nudo es o no 3-coloreable. En éste caso lo probaremos sobre una figura nueva que llamaremos la escoba de bruja:

      No es tres coloreable, se puede colorear con el mismo color o con tres, pero nunca con dos, hemos marcado con una circunferencia la zona del conflicto.
       La definición para que el esquema de un nudo K sea 3-coloreable es si cumple:
      1. Podemos pintar todos los arcos del diagrama usando uno de los tres colores.
      2. Al final hemos usado los tres colores.
      3. El cruce de los arcos es 3-coloreable o 1-coloreable, pero nunca 2-coloreable.

      Como ya hemos visto que nuestra escoba de bruja no es 3-coloreable, vamos un ejemplo de un nudo que si se pueda colorear con tres colores.


      Si nos fijamos en cada cruce hay 1 o 3 colores, pero nunca 2 . Para generalizar el concepto de la 3-coloración de un nudo tenemos la siguiente fórmula:
      Se cumplirá que la ecuación debe ser divisible por 3. Para utilizarla cambiaremos los colores por los números 0,1,2, porque a los matemáticos nos gusta empezar por el cero. Ahora tenemos otra condición para cada cruce llamaremos x al arco que pasa por arriba, y, z seran los otros arcos. Y para generalizarla tendremos la siguiente definición.

      Definición: El diagrama de un nudo se puede etiquetar como mod p, es decir, que es divisible por p siendo p un número cualquiera si cumple:
      1. Podemos nombrar todos los arcos del diagrama con un entero de {0,1,...,p-1}.
      2. Llamaremos x al arco que pasa por arriba de un cruce, y, z a los otros dos si cumple:
      3. Hemos usado un mínimo de dos números distintos.

      ¿Podemos seguir jugando con los nudos?. Vamos a ver, primero haremos un diagrama de un nudo, marcaremos un inicio y con una flecha la dirección que queremos seguir. (Hay que pinchar sobre la imagen para ver la animación).


      A partir del inicio marcado por un punto, recorremos todo el nudo y numeramos los puntos de cruce que nos encontremos hasta regresar al punto base. De manera que cada punto de cruce recibe dos números, uno es par y el otro es impar. Escribiremos estas parejas de números en dos renglones, los números impares van arriba y en orden.
      1 3 5 7
      4 6 8 2




      Nos quedaremos sólo con los números pares, y en el orden de aparición, 4 6 8 2. Éste es nuestro código del diagrama anterior. Esta notación es debida al matemático Dowker.

        El número de engarce nos permite probar que en el espacio tridimensional no se puede transformar una banda de moebius levógira (izquierda) que tenemos en color azul, con número de engarce -1 en una banda dexdrógira (derecha), en color rojo y con número de engarce 1. Si fuesen iguales tendrian el mismo número.


      El número de engarce está orientado si cada componente conexa está orientada, y se denota por una flecha. A un cruce se le asigna un número positivo o negativo siguiendo la siguiente regla: +1 si en el cruce al llevar la rama de debajo sobre la de arriba lo hacemos en dirección de las agujas del reloj, y si lo hacemos en sentido contrario a las agujas tendremos -1.

       Hay una propiedad que dice que el número de engarce es invariante por los movimientos de Reidemeister. Los movimientos de tipo 1 no contribuyen en el número de engarce; los de tipo 2 aportan un +1 o -1, por lo que la suma final dará 0; los movimientos de tipo 3 no varían el signo de ningún cruce.

      Seguiremos jugando y otra vez hablaremos de las técnicas combinatoriales de los nudos.

      Nos despedimos con el Juego de la cuerda, con la figura que llamamos la escalera de Jacobo.


      ¡¡¡OS DESEO A TODOS UN FELIZ CARNAVAL 2.10!!!


      POSTAL TOPOLÓGICA

      Esta entrada participa en la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es 

      Con esta postal os deseo unas felices Navidades Topológicas, de parte de la família de botellas de Klein que han bajado a la tercera dimensión y han decidido celebrar las fiestas en casa, con la família.


      Empecemos por hablar de algunos objetos relativos a los Juegos Topológicos de José Luis Rodríguez que se encuentran en la postal, como una casa contractil que es la Casa de Bing que esta vez la han ocupado unas ardillas gemelas, que son las mascotas de los dos hermanos que estan enredando en el suelo a su lado. También tenemos el politopo E8 un hilorama que los mejores diseñadores lo quisieran para sí. Podemos apreciar en nuestro árbol el helicoide como uno de los adornos, otros adornos del árbol son el nudo de trébol, la esfera de Riemman y un cristal de nieve a modo de estrella de navidad. Y por supuesto en la pared tenemos una de las superfícies de Seifert.

        Hemos decorado la casa con una chimenea en forma de banda de moebius. Abajo hay un cristal con un rayo atrapado obra del escultor Bert Hickman. Tenemos también un mueble fractal Realizado por Takeshi miyakawa design.

      En la estantería fractal hay algunos objetos y uno que se ha colado, pero que tiene que ver con nuestra temática, se trata de las 6 dimensiones de Calabi-Yau que también aparecen en el árbol navideño. Y tenemos otros elementos como un reloj matemático y una lámpara diseñada por la escultora Bathsheba Grossman.

        En la mesa fractal hay unos bizcochitos de semejanza que hacen alusión a las iteraciones desde la primera a la cuarta de la  Esponja de Menger.
       
      Una tarta geométrica, con un grafo euleriano acompañadas de dos tazas con una cierta crisis de identidad, pues no saben si son tazas o donuts., completan la mesa.

        Y por la ventana nos vienen a saludarnos nuestros amigos de otros años como el muñeco de nieve topológico o nuestro Santa con su saco lleno de regalos. Que han sido las imágenes de otros años de la autora.

      Y sin nada más, os animo a que tengais vuestras Felices Navidades Topológicas 2011-2012.




      Fractales y Diseño

      Esta entrada participa en la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Ciencia Conjunta



      He decidido ser coherente conmigo misma y el lugar de ir a una macrosuperfície para comprar muebles y después montarlos en casa de manera que siempre faltan o sobran piezas, o me me encajan tornillos, pues voy a amueblar y decorar mi hogar como matemático. Así que voy a empezar por el conjunto de Cantor. ¿Recordamos cual es?:


      ¿Aún no?. Os doy más pistas. Es un conjunto infinito, en el que comenzamos por una línea, en realidad es un intervalo C0=[0,1] y que dividimos en 3 intervalos iguales para después quitarle el intervalo de intermedio, es decir quitamos 1/3, y ahora tenemos C1, la primera iteración, y repetimos el proceso, de manera que cada vez que veamos un intervalo le volvemos a quitar 1/3, de esta forma:
      Así que vamos a ver como puedo amueblar mi casa con conjuntos infinitos, es decir con fractales, pero tengo un problema, pues mi casa es finita y no me caben conjuntos infinitos, así que, ¿qué podré hacer?, pues evientemente no tendré todas las iteraciones, me quedaré con la 4 iteración:

      Aunque me va a ser difícil colocar los libros. Y ahora necesitaría alguna mesita para el comedor, quizá me sirva esta. Realizado por Takeshi miyakawa design

      Fractal 23

      Y alguna figura para adornar, de cristal, esta vez vamos con el Conjunto de Julia de la escultora y matemática Bathsheba Grossman:


      Pero necesitaré una mesa fractal donde poder estudiar topología y hacer los demás deberes, está claro, es un diseño esta vez de Fractal. MGX:

        ¡Qué bien va a quedar sobre la mesa mi taza y mi donut!. Y, ¿sobre las paredes?, ¿algún cuadro?. Pues podríamos empezar por poner una foto de una instalación del escultor Walter de Maria, es un campo lleno de pararayos, y los rayos que son fractales completan la obra, veamos una imagen:

      Walter de Maria
       Y como me gustan los rayos que no las tormentas he decidido tener uno en casa, es obra del escultor Bert Hickman:


      Os dejo un video para que veais como podemos atrapar un rayo, eso sí, recordar la tabla periódica y los elementos no-conductores, por si lo haceis en casa, aunque no lo aconsejo.


      Pero nos faltan unas sillas, veamos que encontramos en el mercado que nos llame la atención matemáticamente hablando:

      Bathsheba Grossman:
      Podríamos utilizar la Esponja de Menger en su cuarta iteración para sentarnos como si fuese un taburete. Y por supuesto para darle vida tendríamos verduras y plantas fractales de semejanza, como el romanesco, helechos y palmeras.


      Y como ya es hora, empezaría a pensar qué árbol de navidad podría poner en mi salón fractal.


      Y así me sentaría en mi sofá homeomorfo a una esfera admirando mi árbol de navidad fractal y con mi peluche también fractal.

       ¿Y vosotros?, ¿cómo decoraríais una casa matemática?. No hay que olvidarse del sentido del humor matemático.


      OS DESEO UN...

      ¡¡¡FELIZ CARNAVAL MATEMÁTICO!!!
       


       Los sólidos platónicos en la cuarta dimensión.


      Esta entrada participa en la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia

      Los sólidos platónicos en la cuarta dimensión son 6 poliedros, pasamos a describirlos. Pero primero vamos a recordar cuantos sólidos hay en la tercera dimensión, y que son:

      Euclides y los 5 sólidos platónicos, fotomontaje de la autora.
       Euclides hace una demostración de la existencia de sólo cinco sólidos en la tercera dimensión. Y éstos sólidos en el siglo XX se han encontrado que tienen un referente natural:  el cubo, el octaedro y el dodecaedro aparecen en minerales como la pirita; el tetraedro es la molécula del metano, entre otras; y el icosaedro el virus del VIH. Pero, ¿cómo son los sólidos platónicos en la cuarta dimensión?. veamos.

      Pentácoron
      (Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.
      A 3D projection of a 5-cell).

      El Pentácoron (4-simplex), es  análogo del tetraedro. Se compone de 5 celdas, todas tetraedros, 5 vértices, 10 aristas y 10 caras.

      Hipercubo o Teseracto
      (Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.
      A 3D projection of a 8-cell).

      El Hipercubo (Teseracto): Es análogo del cubo y está compuesto de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices.
      Hexadecacoron
      (Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.
      A 3D projection of a 16-cell).

      El Hexadecacoron (16-celdas), se compone de 16 celdas, todas ellas tetraedros. Tiene 32 caras triangulares, 24 aristas y 8 vértices.

      Icositetracoron
      (Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.
      A 3D projection of a 24-cell).


      El Icositetracoron (24-celdas),  tiene 24 celdas en forma de octaedro. En conjunto tiene 96 caras triangulares, 96 lados y 24 vértices.

      Hecatonicosacoron
      (Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.
      A 3D projection of a 120-cells).

      El Hecatonicosacoron (120-celdas),  es el análogo del dodecaedro. Tiene 120 celdas. En conjunto tienen 720 caras pentagonales, 1200 aristas y 600 vértices.

      Hexacosicoron
      (Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.
      A 3D projection of a 600-cell)

      El Hexacosicoron (600-celdas), es el análogo del icosaedro. Formado por 600 celdas, todas tetraedros. En conjunto forman 1200 caras triangulares, 720 aristas y 120 vértices.

        ¿Pero dónde ubicamos estos sólidos?. Pues entre la tercera y la quinta dimensión. Veamos una foto de família de los sólidos perfectos.



      ¿Curioso, no?. Los sólidos sólo pueden existir a partir de la tercera dimensión, tenemos 5 sólidos platónicos en la 3-dimensión, 6 sólidos en la 4-dimensión y 3-sólidos en la quinta dimensión y en dimensiones superiores a ella. ¿Os preguntais por qué es así?. Primero vamos a intentar averiguar que significa la palabra dimensión.
      Veamos una imagen.


      Esta imagen hace referencia a como crece un cuadrado desde la dimensión cero a la cuarta. La 0-dim. sería un vértice, en realidad debería ser un punto que no se viese, pues no tendría grosor. La segunda dimensión como vemos en la imagen son dos vértices y una arista, o lo que es lo mismo, de cada vertice saldrá una única arista. En la segunda tendremos que de cada vértice emergen dos aristas. En la tercera son tres aristas por cada vértice. Y como no, en la cuarta hay cuatro aristas por cada vértice. En todos los casos los vértices se duplican, ya que si nos fijamos a modo de grafo tenemos que la línea, la arista parte de un origen y va hacia un final.

        ¿Y cómo sabemos que existen 6 sólidos platónicos en la cuarta dimensión?. Se lo debemos al  matemático suizo Ludwig Schläfli del siglo XIX, quien hizo una versión de la fórmula de Leonhard Euler, para demostrar  la existencia de sólo 6 sólidos.

      La fórmula de Euler que nos dice que los vértices de un poliedro menos las aristas y sumándoles las caras es igual a 2 ( V - A + C = 2), tiene un equivalente para poliedros convexos, obra de Schläfli: V - A + C - H = 0. Dónde V es el número de vértices, A el número de aristas, C es el número de 2-caras y H el número de 3-caras. Así tendremos:

      El Pentácoron:              V=5,   A=10, C=10, H=5
      El Hipercubo:                V=8,  A=24, C=32, H=16
      El Hexadecacoron:       V=16, A=32, C=24, H=8
      El Icositetracoron:        V=24, A=96, C=96, H=24
      El Hecatonicosacoron: V=600, A=1200, C=720, H=120
      El Hexacosicoron:        V=120, A=720, C=1200, H=600

      Entonces sólo tenemos estos casos posibles con cálculos elementales, es decir, 6 sólidos perfectos.

      En Teoría de Cuerdas, se definen 11 dimensiones, 6-D estan en torno a las tres Constantes de Planck, el tiempo mínimo, el espacio mínimo y la mínima energía, necesarios para construir la materia. La 11-D es el tiempo. Y sólo cuatro son macroscópicas, es decir, desde la 1-D a la 4-D. Quizá por ello los sólidos platónicos son 6 en la cuarta dimensión cuando en la quinta y en dimensiones superiores quedan en tres. Esto lo dejaremos como idea.

      Y ahora que tenemos algo más claro la idea de la dimensión vamos a jugar al cubo de Rubik, ¿en qué dimensión queremos jugar?.


      Rubik 2-D

       Si te has cansado del cubo clásico de la tercera dimensión, tenemos una versión del diseñador británico Andrew Fentem



      Rubik 4-D

      Rubik 5-D


      5-D 

      ¿Te animas a jugar?. Aún se podría complicar más. Me despido con una animación que hice para una de mis clases de como evoluciona un cubo hasta la 15-dimensión.


      ¡Feliz Carnaval!





      Como ser de Geometria y Topología 
      y sobrevivir en un mundo analítico 

      Esta entrada participa en la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es la Vaca Esférica


      Las 07:00h de la mañana, suena el despertador, pero como no me gustan los números imagino un reloj geométrico; en relatividad un reloj es una construcción geométrica basada en los conos de luz.


      ¡Ya es hora de despertarse!.  Bajo la ducha pienso: ¿dinámica de fluidos?, ¿o un sistema caótico?.  Bajo mis pies se genera un atractor que se mueve en sentido de las agujas del reloj, gracias al efecto coriolis.
      Esta vez va ganando la geometría, pero en el desayuno como no me apetece pensar recurro a las superfícies modelo de la topología, así que desayunaré algo homeomorfo a un toroide y un un café en mi taza preferida, debe ser café, pues como dice un dicho popular, un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas.



















      ¿Y cómo desayunaría alguien de análisis matemático?. Veamos, seguro que utilizaría alguna propiedad como la sustrativa. Empezando por el donut.


      ¡Aunque pensándolo bien!, ¿si soy de Topología, por qué utilizar una taza y un donut?. ¡Vaya derroche de recursos!, ¿o quizás esté vaga?. Pues como son dos superfícies homeomorfas desayunaré sólo una de ellas.


      ¡Se hace tarde!, debo ir a la facultad de Ciencias Matemáticas pues tendo clase de Geometría y Topología de Dimensiones Bajas, pero cuando llego a la facultad me pierdo, no encuentro el aula, hasta que recuerdo que como es espacio, y por ser de la tercera dimensión, tenemos una superfície orientable, así que decido sacar mi brújula, porque me gusta la geometría, pero no me aclaro con el instrumento, ¡vaya!, tengo que utilizar el gps, lo acepto porque lo que hace es triangular con satélites una superfície, y eso me suena de algo. Al final encuentro el aula, pero como mi reloj es geométrico, y relativista tiene un desfase de 5 minutos, y no tengo claro si a mi favor o en mi contra. Entro en el aula, tarde, un poco tarde, y veo que me he vuelto a equivocar, es una clase de Análisis, ya decía yo que lo de la pizarra eran números.

        Pero al final encuentro el aula. ¡Vaya lío! , están hablando de nudos, y yo con los cordones deshechos. Me pongo en situación y me ato los cordones y empiezo a divagar si es conveniente que mi ADN está anudado, ¿de no estarlo estudiaría topología? , ¿estará en los genes?, pero el ADN tiene 4 letras, la T,C,G,A (timina, citosina, guanina, adenina), la base de la vida, y sabemos en la facultad que quien es de letras es que es de Álgebra, pero a la vez sabemos que tenemos 32 cromosomas, y eso son números, así que estamos hablando de análisis matemático de nuevo. Por ello llego a la conclusión que las matemáticas están en el ADN.

      ¡Me duele la cabeza!, ha acabado la clase, así que me voy con mis amigas a comer, y en el menú me encuentro espaquetis hechos un lío, y un trozo de pan que es homeomorfo a una esfera. Y después de comer decido irme a casa a dormir la siesta, con mi peluche fractal.



      Mañana será otro día.


      Os animo a todos a que conteis vuestro día topológico, con sentido del humor matemático.


      REFLEXIONES DE UNA ESTUDIANTE DE MATEMÀTICAS... Después de los exámenes finales

      Ésta entrada participa en la Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Juegos Topológicos.


         Último examen, en septiembre más, tengo la cabeza llena de teoremas que mis amigas me preguntan : ¿para que nos sirven?, a lo que yo sólo puedo responder, le preguntamos a los físicos o buscamos un ingeniero que nos dé una respuesta clara, concisa, algoritmica, es decir,  ¡no tengo ni idea!.

        Intento olvidarme de las matemáticas, ¡bien, voy a descansar!, pero antes de salir de la facultad al bajar las escaleras me encuentro con el aula pi, así llamada porque está entre el aula 0.3 y la 0.4, pero más cerca de la primera, así que como tiene decimales...





















      ¡¡¡No puede ser!!!, quiero salir de ésta  jaula de grillos.  Pero aún me queda dejar los libros en la biblioteca del campus, ¿sobreviviré fuera de la facultad?.

        Salgo por la puerta de la facultad de camino a la biblioteca y me fijo en unas bicis, bueno, más bien en su ausencia, ¡no puede ser, es una hélice cilíndrica!, ¡ésta vez va ganando la geometría! .















       Me olvido de todo al ver y oler el jazmin,  las plantas y los árboles en el campus tienen carteles, me digo alegremente, ¡es cosa de biólogos!, pero desafortunadamente me fijo en la flor de jazmin.


      Pero en lugar de ver una inocente flor me fijo en su estructura, en concreto en el número phi, en la sección áurea.


      ¡Vaya!, es un pentágono dentro de otro donde se forma una estrella y así recursivamente, a modo de fractal de semejanza. Aunque nunca hay que olvidar a Fibonacci. Aunque si miro analíticamente la flor tendre:

      ¡No tengo remedio!, lo olvido y continuo caminando hacía la biblioteca del campus esta vez esquivando las flores, ya he aprendido la lección. Una vez en la biblioteca de ciencias me encuentro con una escultura del ADN, y me viene a la memoria la teoría de nudos ya que el ADN está enrollado.

       

      Esto me hace recordar los nudos de C.Adams, en concreto el libro infantil que es más sencillo y nos sirve de iniciación al estudio.


      Dejó los libros de álgebra y como es tarde me voy a comer algo en el campus, como estoy cansada por el examen y no quiero pensar decido comer algo homeomorfo a un toro , al bebida es otro cantar ya que es dinámica de fluidos.

      Me voy al tranvia ignorando la catenaria y me dispongo a leer, pero el único libro que llevo es Planilandia, una novela de muchas dimensiones.
      Me duele la cabeza y dejo la lectura y encuentro en mi mochila un ejemplar de la National Geographic, ¡al fin!, una lectura que no es de matemáticas, pero para mi sorpresa encuentro el vuelo de una libélula y me vienen a la memoria los vectores de posición y de velocidad. Paso la página y veo flores, no, flores no, que ya he aprendido la lección, así que cierro la revista a la hora que hago el transbordo con el metro. 

      A mi salida del metro me alegro de que mi bono no lleve un código de barras, pero me fijo y veo un chip, ¡vaya!, es teoría de grafos, ya que el circuito es un grafo. Ya he salido, voy de camino a casa y me fijo en el flujo de gente que camina, y entonces alguien me pregunta la hora, ¡no puede ser!, mis amigas de matemáticas me habían regalado un reloj digital en el que tienes que sumar para saber la hora que es y los minutos, textualmente “para que no me olvide de sumar por estar en matemáticas”; sumando en silencio le digo la hora mientras que la señora mira atónita a mi reloj y a mi. 
       Llego a casa, está claro que no puedo huir de las matemáticas, estas aparecen en todas partes, e incluso en nuestra vida cotidiana, así que me siento en el sofá con mi gata y me veo un capítulo de la última temporada de Numb3ers. Y de repente me encuentro un mensaje en el teléfono móbil, es una postal de la família Klein que estan de vacaciones en la tercera dimensión. Nessi cansada de los paparazzis se ha ido de vacaciones y les ha aconsejado un lugar tranquilo a la família Klein, que por la crisis se ve obligada a veranear en la tercera dimensión.


      ¡OS DESEO A TODOS UN FELIZ VERANO TOPOLÓGICO!